KONSEP PROGRAM LINEAR

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR                                                                                                                                                      

BAB I PENDAHULUAN

1.1   LATAR BELAKANG

1.2   RUMUSAN MASALAH

BAB II PEMBAHASAN

2.1 DEFINISI PROGRAM LINIER   

2.2 ISTILAH UNTUK SOLUSI MODEL

2.3  MODEL PEMROGRAMAN LINIER

2.4 BENTUK PERMASALAHAN PEMROGRAMAN LINIER MODEL

2.5 KARAKTERISTIK ATAU ASUMSI DASAR PROGRAM LINEAR                                   

2.6 METODA GRAFIS

BAB III PENUTUP

3.1 KESIMPULAN

DAFTAR PUSTAKA

KATA PENGANTAR

Dengan menyebut nama Allah SWT yang Maha Pengasih lagi Maha Panyayang, Kami panjatkan puja dan puji syukur atas kehadirat-Nya, yang telah melimpahkan rahmat, hidayah, dan inayah-Nya kepada kami, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah OPERATION RESEARCH  tentang Konsep Program Linear

Makalah ini telah kami susun dengan maksimal dan mendapatkan bantuan dari berbagai pihak sehingga dapat memperlancar pembuatan makalah ini. Untuk itu kami menyampaikan banyak terima kasih kepada semua pihak yang telah berkontribusi dalam pembuatan makalah ini.

Terlepas dari semua itu, Kami menyadari sepenuhnya bahwa masih ada kekurangan baik dari segi susunan kalimat maupun tata bahasanya. Oleh karena itu dengan tangan terbuka kami menerima segala saran dan kritik dari pembaca agar kami dapat memperbaiki makalah ini.

Akhir kata kami berharap semoga makalah  Konsep Program Linear dapat bermanfaat untuk masyarakan ini dapat memberikan manfaat maupun inpirasi terhadap pembaca.

BAB I PENDAHULUAN

1.1   Latar belakang

1.2   Rumusan masalah        

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Definisi Program Linier             

Pemograman linier menggunakan model matematika untuk menggambarkan suatu masalah. Sifat linier di sini berarti semua fungsi matematika harus berupa fungsi linier, sedangkan kata pemrograman berarti perencanaan. Sehingga pemrograman linier meliputi perencanaan aktivitas untuk mendapatkan hasil optimal, yaitu sebuah hasil yang mencapai tujuan yang terbaik (menurut model matematika) diantara semua kemungkinan alternative yang ada. Hal terpenting yang perlu kita lakukan adalah mencari tahu tujuan penyelesaian masalah dan apa penyebab masalah tersebut

2.2 Istilah Untuk Solusi Model

Solusi dalam pemrograman linier adalah nilai untuk variabel keputusan (x₁, x₂, ...,x_n), tanpa menghiraukan apakah solusi tersebut merupakan pilihan yang diinginkan maupun yang diperbolehkan. Tipe solusi yang berbeda akan diidentifikasi dengan menggunakan sifat yang tepat.

A.    Solusi layak (feasible solution) adalah solusi dimana semua kendala yang ada terpenuhi.

B.    Solusi tak layak(infeasible solution) adalah solusi dimana sedikitnya satu kendala tidak terpenuhi atau dengan kata lain dilanggar.

C.    Solusi optimal adalah solusi layak yang memiliki nilai fungsi tujuan terbaik. Permasalahan pemrograman linier tidak mempunyai solusi optimal terjadi hanya jika:

-          tidak ada solusi layak

-          kendala-kendala tidak mencegah naiknya nilai fungsi tujuan (z)  ke arah yang tidak terdefinisi, baik ke arah positif atau negatif.

D.    Solusi corner-point feasible (cpf) adalah solusi yang ada di setiap sudut daerah layak.

2.3  Model Pemrograman Linier

Kunci terpenting dalam model pemrograman linier adalah sumber daya dan aktivitas dimana m merupakan jenis sumber daya yang berbeda yang dapat digunakan serta n yang merupakan jumlah aktivitas yang dipertimbangkan.

Ada beberapa simbol yang digunakan untuk menunjukkan berbagai komponen model pemrograman linier. Berikut adalah daftar simbol dengan tafsirannya untuk permasalahan umum pengalokasian sumber daya ke aktivitas.

Z = nilai dari semua standar performansi

X_i = tingkat aktivitas j ( untuk j = 1, 2, ..., m)

C_j = penambahan terhadap z yang diakibatkan oleh peningkatan tiap unit di tingkat aktivitas j.

B_i = jumlah sumber daya i yang tersedia untuk aktivitas ( untuk i = 1, 2, ..., m)

A_ij = jumlah sumber daya i yang dipakai tiap unit aktivitas j

Suatu model akan membuat permasalahan menjadi suatu bentuk pengambilan keputusan mengenai tingkat aktivitas sehingga x₁, x₂, ...,x_n disebut variabel keputusan. Nilai c_j, b_i, dan a_ij (untuk i=1,2,...,m dan j=1,2,...,n) adalah input konstan untuk suatu model. Serta c_j, b_i, dan a_ij  disebut parameter model

2.4 Bentuk Permasalahan Pemrograman Linier Model

A.    Mengoptimalkan fungsi tujuan

Maksimalisasi : z= c₁x₁+c₂x₂+...+c_nx_n

Minimalisasi : z= a₁x₁+c₂x₂+...+c_nx_n

B.    Beberapa kendala fungsional pertidaksamaan dengan tanda lebih besar ( untuk meminimalkan fungsi tujuan) dan tanda kurang dari (untuk memaksimalkan fungsi tujuan) atau sama dengan.

Maksimalisasi: c_i1x₁+c_i2x₂+...+c_inx_n ≤ b_i (untuk beberapa nilai i)

Minimalisasi : c_i1x₁+c_i2x₂+...+c_inx_n ≥ b_i (untuk beberapa nilai i)

C.    Beberapa kendala fungsional dengan bentuk persamaan

C_i1x₁+c_i2x₂+...+c_inx_n = b_i untuk beberapa nilai i

D.    Menghilangkan kendala nonnegativitas untuk beberapa variabel keputusan

X_j tidak dibatasi (unrestricted) untuk beberapa nilai j

2.5 Karakteristik Atau Asumsi Dasar Program Linear                                         

1.    Proporsionalitas

Asumsi ini berarti naik turunnya nilai z dan penggunaan sumber atau fasilitas yang tersedia akan berubah secara sebanding (proporsional) dengan perubahan tingkat kegiatan.

2.    Additivitas

Asumsi ini berarti setiap fungsi dalam model pemrograman linear (baik fungsi tujuan maupun fungsi disebelah kiri kendala fungsional) adalah jumlah kontribusi individu pada masing-masing aktivitas.

3.    Divisibilitas

Asumsi ini menyatakan bahwa keluaran (output) yang dihasilkan oleh setiap kegiatan dapat berupa bilangan pecahan.

4.    Kepastian

Asumsi ini menyatakan bahwa semua parameter yang terdapat dalam model program linear dapat diperkirakan dengan pasti, meskipun jarang tepat.

2.6 Metoda Grafis

Cara ini dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan pemrograman linier dengan dua variable keputusan. Walaupun akan timbul banyak kesulitan, metode ini masih memungkinkan untuk menyelesaikan permasalahan yang mempunyai tiga variable keputusan.

Contoh soal:

Pt iguana tekstil memiliki sebuah pabrik yang akan memproduksi 2 jenis produk, yaitu kain sutera dan kain wol. Untuk memproduksi kedua produk diperlukan bahan baku benang sutera, bahan baku benang wol dan tenaga kerja. Maksimum penyediaan benang sutera adalah 60 kg per hari, benang wol 30 kg per hari dan tenaga kerja 40 jam per hari. Kedua jenis produk memberikan keuntungan sebesar rp 40 juta untuk kain sutera dan rp 30 juta untuk kain wol. Masalahnya adalah bagaimana menentukan jumlah unit setiap jenis produk yang akan diproduksi setiap hari agar keuntungan yang diperoleh bisa maksimal?

Jawab:  langkah-langkah:

1. Tentukan variabel: x₁=kain sutera ; x₂=kain wol

2.  Fungsi tujuan : zmax= 40x₁ + 30x₂

3. Fungsi kendala / batasan:   1) 2x₁ + 3x₂ ≤ 60    (benang sutera)

2)           2x₂ ≤30     (benang wol)

3) 2x₁ + x₂ ≤ 40      (tenaga kerja)

4. Membuat grafik

   pers (1)   2x₁ + 3x₂ = 60   

X₁=0, x₂ =60/3 = 20                  

X₂=0, x₁= 60/2 = 30

   pers (2)    2x₂ = 30            ;      x₂=15

   pers (3)   2x₁ + x₂ = 40

X₁=0, x₂ = 40

                  x₂=0, x₁= 40/2 = 20

 

                                 daerah penyelesaian

Gambar 2.1 grafik daerah penyelesaian

Dari gambar 2.1 dapat kita ketahui bahwa titik ekstrim yang optimal berada pada titik c, yaitu titik potong antara persamaan (1) dan (3), sehingga:

Titik potong (1) dan (3) :

2x₁ + 3x₂ = 60

2x₁ + x₂    = 40 -

2x₂=20 ó x₂=10

Masukkan x₂ ke kendala (1)

2x₁ + 3x₂   = 60

2x₁ + 3.10 = 60

2x₁ + 30    = 60

2x₁ = 30 ó x1 = 15

Masukkan nilai x₁ = 15 dan x₂=10 ke z

Zmax = 40x₁ + 30x₂

          = 40.15 + 30.10 = 600 + 300 = 900 (optimal)

Kesimpulan :

Untuk memperoleh keuntungan optimal, maka x₁ = 15 dan x₂ = 10 dengan keuntungan sebesar rp 900 juta.

 
BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan

Ada pun kesimpulan yang dapat diperoleh dari makalah ini adalah:

1.    Pemograman linier menggunakan model matematika untuk menggambarkan suatu masalah. Sifat linier di sini berarti semua fungsi matematika harus berupa fungsi linier, sedangkan kata pemrograman berarti perencanaan. Dari pengertian kata linier dan program tersebut dapat ditarik kesimpulan bahwa pengertian program linier adalah perencanaan yang berupa fungsi linier.

2.    Kunci terpenting dalam model pemrograman linier adalah sumber daya dan aktivitas dimana m merupakan jenis sumber daya yang berbeda yang dapat digunakan serta n yang merupakan jumlah aktivitas yang dipertimbangkan sehingga dapat membentuk suatu permodelan matematika dua jenis fungsi yaitu fungsi tujuan dan fungsi batasan dari permasalahan di dunia real

DAFTAR PUSTAKA

http://drs-saukanihasan.blogspot.co.id/2012/06/operation-research.html